小樣本的卡方檢定：費雪爾正確概率檢定 / Fisher’s Exact Test: An Example

5月 09, 2017 Statistics 18 Comments Edit Copy Download

本學期在教卡方檢定的時候，一併研究起小樣本時SPSS時常使用的另一種卡方檢定「費雪爾正確概率檢定 (Fisher's exact test)」。這是一種用於2x2列聯表、行列的總數不超過20個、有細格期望值小於5的情況下所使用的無母數檢定法，可分析兩組類別資料之間是否有顯著相關。我翻找了許多書籍跟網頁，最後找到Ina Parks S. Howell的統計課講義「Fisher’s Exact Test: An Example」對費雪爾正確概略檢定有最詳細的介紹。內容不多，但還挺好理解的，那我就根據講義的內容，把計算過程整理一下吧。

問題與列聯表資料 / Question

現在學校內有「甲班」跟「乙班」兩個不同班級，兩個班級的人數都很少。但老師非常嚴格，到了期末的時候當掉了不少學生。兩個班級在學期末通過與未通過的列聯表資料如下：

乍看之下，甲班只有36%的學生過關(8/22)，乙班卻只有25%的學生通過(1/4)。

乙班學生非常生氣，希望能夠找到足夠的證據來證明乙班的老師過於嚴格。這時候我們就能用費雪爾正確概率檢定來計算這件事情。

假設 / Hypothesis

在此問題中的對立假設與虛無假設如下：

• 對立假設 H₁： 兩個班級的通過比例不同。
• 虛無假設 H₀：兩個班級的通過比例沒有不同。

甲班與乙班的通過與未通過是兩個獨立的二項實驗 (binomial experiments，得到結果只有「是」或「否」兩種)，而且樣本數量非常小，因此我們可以使用費雪爾正確概率檢定來計算。

在本例子中的顯著水準α 設為0.05，最後費雪爾正確概率檢定計算出的機率值p值必須要小於0.05 (在講義中寫<=，但我認為是<)，我們才能推翻虛無假設、接受對立假設。

列聯表定義 / Contingency Tables Definition

為了方便計算，我們有必要給列聯表的各個位置一個代號。原始資料如下：

以列變項為i，行變項為j，代號如下：

上面為綠底的部分為細格的個數。沒有標示的n即為樣本總數。而上面標示黃底有標示「.」的總合數字，包括「n_1.」、「n_2.」、「n_.1」、「n_.2」，是為邊際總合。

計算過程 / Calculations

1. 找尋可能的細格組合 / Possible Cells

在費雪爾正確概率檢定中，假設邊際總合(黃底位置)是固定的，而細格個數(綠底)則是可能改變的數字。

這個組合要怎麼找呢？步驟如下：

1. 找到邊際總合最小的位置，是位於n_2.的「4」。其中i=2，意思是我們要考慮的是「n₂₁」跟「n₂₂」的組合。
2. 「n₂₁」跟「n₂₂」的原始個數是(1,3)。在總合為4，不可小於0的條件下，可能有以下5種組合：(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1) 跟 (4,0)。
3. 根據「n₂₁」跟「n₂₂」的組合，調整「n₁₁」跟「n₁₂」，即可得到5種不同的細格組合。

這5種細格組合如下，以(n₁₁,n₁₂,n₂₁,n₂₂)呈現：

• (9, 13, 0, 4)
• (8, 14, 1, 3) <-原始組合
• (7, 15, 2, 2)
• (6, 16, 3, 1)
• (5, 17, 4, 0)

2. 計算機率值 / Probability Computing

接著我們要為每一種細格組合計算機率值，公式如下：

裡面的「n!」是階乘運算。此例的「n!」即為「26!」。

你可以用Google計算機來計算階乘。

接著我們試著將以上的5種細格組合各別機率值：

• (9, 13, 0, 4)：p = 0.159197
• (8, 14, 1, 3)：p = 0.409365<-原始組合
• (7, 15, 2, 2)：p = 0.327492
• (6, 16, 3, 1)：p = 0.095518
• (5, 17, 4, 0)：p = 0.008428

(原始講義這邊打錯，以上面我的修正為主)

3. 計算雙尾檢定的機率值p值 / Two-tailed P-Value

若要計算雙尾檢定的機率值p值，其做法如下：

1. 找出原始組合的機率值：(8, 14, 1, 3)：p = 0.409365
2. 將所有組合的機率值小於或等於原始組合機率值加總，即可得到雙尾檢定的機率值。

0.159197 + 0.409365 + 0.327492 + 0.095518 + 0.008428 = 1

結論：雙尾檢定的機率值為1，大於0.05顯著水準，無法拒絕虛無假設。意思是兩個班級的通過比例沒有不同。

4. 計算單尾檢定的機率值p值 / One-tailed P-Value

計算單尾檢定的機率值p值比較複雜。首先我們要計算的n₁₁期望值：(n_1. * n_.1) / n = ( 22 * 9 ) / 26 = 7.6。

n₁₁個數8大於期望值7.6，因此我們要找出細格組合中大於期望值7.6的組合：

• (9, 13, 0, 4)：p = 0.159197
• (8, 14, 1, 3)：p = 0.409365<-原始組合

將以上機率值加總，即可得到單尾檢定的機率值：

0.159197 + 0.409365 = 0.568562

結論：單尾檢定的機率值為0.569，大於0.05顯著水準，一樣無法拒絕。我們不能說甲班的通過比例高過乙班。

但大部分列聯表的計算都是看有無差異的雙尾檢定，單尾檢定則不是重點就是了。

小結 / In Closing

以上計算結果與SPSS相同，費雪爾正確概率檢定計算結束。

話說回來，費雪爾正確概率檢定原本是費雪爾跟他的同事在玩「能不能猜出這杯奶茶是先加奶精、還是先加茶」的遊戲中，所發展出的一種小樣本統計方法，有興趣可以看看應數博黃士峰的「統計方法應用--- Fisher’s Exact Test」介紹，很有趣吧。